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几何原本截图1

命题47译文命题47在直角三角形中直角所对边上的正方形等于两直角边上的正方形之和Inrightangledtrianglesthesquareonthesidesubtendingtherightangleisequaltothesquaresonthesidescontainingtherightangle设ABC是直角三角形角BAC是直角

我说BC上的正方形等于BAAC上的正方形之和

这是因为在BC上作正方形BDEC在BAAC上作正方形GBHCI46

过A作AL平行于BD或CE连接ADFC

于是由于角BACBAG中的每一个都是直角所以过直线BA上点A的两条直线ACAG不在直线BA的同侧且和直线BA所成邻角之和等于两直角因此CA和AG在同直线上I14同理BA和AH也在同一直线上又由于角DBC等于角FBA因为每一个角都是直角给它们分别加上角ABC

因此整个角DBA等于整个角FBC

公理2

又由于DB等于BCFB等于BA所以

两边ABBD分别等于两边FBBC而角ABD等于角FBC因此底AD等于底FC三角形ABD等于三角形FBCI4

现在平行四边形BL是三角形ABD的二倍因为它们有同底BD且在相同的平行线BDAL之间I41又正方形GB是三角形FBC的二倍因为它们也同底FB且在相同的平行线FBGC之间I41

因此平行四边形BL也等于正方形GB

类似地若连接AEBK则也可以证明平行四边形CL等于正方形HC因此整个正方形BDEC等于两个正方形GBHC之和公理2

而正方形BDEC是在BC上作出的正方形GBHC是在BAAC上作出的因此边BC上的正方形等于边BAAC上的正方形之和这就是所要证明的

欧几里得证明勾股定理的风车图

请看上图图形由3个跳舞的正方形和5条辅助线组成被称为欧几里得的风车用这个风车图形欧几里得漂亮地证明了勾股定理

三角形ABC是直角三角形3个正方形的边长分别是三角形的三条边AL是垂线将大正方形分为两个长方形欧几里得的证法是围绕两个直角边上的正方形分别等于这两个长方形的面积展开的

我们来看看这个出自欧几里得之手的漂亮的证明

首先欧几里得证明AGC三点共线因为两个直角等于一个平角而平角上的点都在一条直线上所以很好证明

同理可证ABH三点共线这是事先埋下的伏笔在后面的证明过程中会发挥作用

接下来证明三角形ABD和三角形FBC全等这也很好证明两个三角形三条边和一个角相等当然就全等

开始就埋下的伏笔起作用了现在我们知道了ACG和FB是平行线ABH和CK也是平行线根据平行线的性质即两条平行线截取的垂线就是距离处处相等容易证明等底等高三角形面积相等等于等底等高的平行四边形面积的一半

于是就证明了欧几里得定理在一直角边上的正方形面积和一个长方形的面积相等这长方形的一边是这直角边在斜边上的投影另一边是斜边本身

根据这个定理正方形ABGF等于长方形BDL正方形ACHK等于长方形CEL

于是就证明了勾股定理

欧几里得的这个证明和三国时期吴国数学家赵爽的证明分别代表了东西方数学的不同风格

对于直角三角形还有一个有趣的定理是垂线定理

在直角三角形中以斜边上的垂线为边的正方形面积等于以斜边上两线段为边的长方形的面积

解释一下设垂线AL和BC交于点J定理的意思是说AJ的平方等于BJJC

也就是说BJAJAJJC即AJ是比例中项如果BJ和JC是两个数那么AJ就是这两个数的几何平均数

几何原本对勾股定理的逆定理的证明截图

命题48译文命题48在一个三角形中若一边上的正方形等于三角形其余两边上的正方形之和则其余两边所夹的角为直角Ifinatrianglethesquareononeofthesidesbeequaltothesquaresontheremainingtwosids

ofthetriangletheanglecontainedbytheremainingtwosidesofthetriangleisright在三角形ABC中设边BC上的正方形等于边BAAC上的正方形之和我说角BAC是直角这是因为从点A作AD与直线AC成直角取AD等于BA连接DC由于DA等于AB所以DA上的正方形也等于AB上的正方形给它们分别加上AC上的正方形因此DAAC上的正方形之和等于BAAC上的正方形之和但DC上的正方形等于DAAC上的正方形之和因为角DAC是直角I47而BC上的正方形等于BAAC上的正方形之和因为这是假设因此DC上的正方形等于BC上的正方形因此边DC也等于边BC又由于DA等于ABAC公用所以两边DAAC等于两边BAAC而底DC等于底BC因此角DAC等于角BACI8但角DAC是直角因此角BAC也是直角这就是所要证明的

几何原本的这两张截图来自2019年江西人民出版社出版的图书作者是古希腊欧几里得2019年江西人民出版社出版的图书作者是古希腊欧几里得

书名几何原本又名原本原版名称译者张卜天

ISBN共480页定价78元江西人民出版社出版时间20191210

装帧平装开本16开

欧几里得公元前330公元前225古希腊人数学家其著作几何原本是欧洲数学的基础奠定了几何学数学和科学的发展对西方人的思维方法有深远的影响被称为几何之父

译者简介张卜天男1979年9月生北京大学哲学系博士现为清华大学人文学院科学史系长聘教授中国社会科学院自然科学史研究所研究员曾任英国剑桥李约瑟研究所访问学者并曾于美国得克萨斯大学奥斯汀分校物理系就读师从1979年的诺贝尔物理学奖得主史蒂文温伯格已有哲学和科学史相关译著五十余本

最后说一句我们课本里见到的勾股定理是代数形式余弦定理也是代数形式而几何原本里的勾股定理和余弦定理都是几何形式

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