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考试要求

1了解平面向量的基本定理及其意义

2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

3会用坐标表示平面向量的加法减法与数乘运算

4理解用坐标表示的平面向量共线的条件

知识梳理

1平面向量的基本定理

如果e1e2是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量a有且只有一对实数12使a1e12e2

其中不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

2平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做把向量正交分解

3平面向量的坐标运算

1向量加法减法数乘运算及向量的模

考点聚焦

考点一平面向量基本定理及其应用

规律方法1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算

2用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式再通过向量的运算来解决

考点二平面向量的坐标运算

规律方法

1巧借方程思想求坐标若已知向量两端点的坐标则应先求出向量的坐标解题过程中注意方程思想的应用

2向量问题坐标化向量的坐标运算使得向量的线性运算都可以用坐标来进行实现了向量运算的代数化将数与形结合起来使几何问题转化为数量运算问题

考点三平面向量共线的坐标表示多维探究

角度1利用向量共线求向量或点的坐标

角度2利用向量共线求参数

规律方法

1两平面向量共线的充要条件有两种形式1若ax1y1bx2y2则ab的充要条件是x1y2x2y102若abb0则ab

2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时也可以利用坐标对应成比例来求解

反思与感悟

1平面向量基本定理实际上是向量的分解定理并且是平面向量正交分解的理论依据也是向量的坐标表示的基础

2平面向量一组基底是两个不共线向量平面向量基底可以有无穷多组

3用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式

易错防范

1注意运用两个向量ab共线坐标表示的充要条件应为x1y2x2y10

2要区分点的坐标与向量坐标的不同尽管在形式上它们完全一样但意义完全不同向量坐标中既有方向也有大小的信息